Вычислите sina, tga, cos2a, sin(a/2), если cosa = -2/5, π < a < 3π/2.

Для решения данной задачи нам понадобятся знания тригонометрических формул и умение определять знаки тригонометрических функций в различных квадрантах.

1. Определение sin(a):

Так как π < a < 3π/2, угол 'a' находится в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицателен. Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2(a) + cos^2(a) = 1$$

Подставляем известное значение cos(a):

$$sin^2(a) + (-2/5)^2 = 1$$ $$sin^2(a) + 4/25 = 1$$ $$sin^2(a) = 1 - 4/25$$ $$sin^2(a) = 21/25$$

Извлекаем квадратный корень:

$$sin(a) = ±\sqrt{21/25} = ±\frac{\sqrt{21}}{5}$$

Так как синус отрицателен в третьей четверти, выбираем отрицательное значение:

$$sin(a) = -\frac{\sqrt{21}}{5}$$

2. Определение tg(a):

Тангенс равен отношению синуса к косинусу:

$$tg(a) = \frac{sin(a)}{cos(a)}$$

Подставляем известные значения:

$$tg(a) = \frac{-\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$$

3. Определение cos(2a):

Используем формулу двойного угла для косинуса:

$$cos(2a) = 2cos^2(a) - 1$$

Подставляем значение cos(a):

$$cos(2a) = 2(-\frac{2}{5})^2 - 1$$ $$cos(2a) = 2(\frac{4}{25}) - 1$$ $$cos(2a) = \frac{8}{25} - 1$$ $$cos(2a) = \frac{8 - 25}{25}$$ $$cos(2a) = -\frac{17}{25}$$

4. Определение sin(a/2):

Используем формулу половинного угла для синуса:

$$sin(\frac{a}{2}) = ±\sqrt{\frac{1 - cos(a)}{2}}$$

Так как π < a < 3π/2, то π/2 < a/2 < 3π/4. Это означает, что угол a/2 находится во второй четверти, где синус положителен.

Подставляем значение cos(a):

$$sin(\frac{a}{2}) = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{2}{5})}{2}}$$ $$sin(\frac{a}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{2}{5}}{2}}$$ $$sin(\frac{a}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{7}{5}}{2}}$$ $$sin(\frac{a}{2}) = \sqrt{\frac{7}{10}}$$ $$sin(\frac{a}{2}) = \frac{\sqrt{70}}{10}$$

Итоговый ответ:

• $$sin(a) = -\frac{\sqrt{21}}{5}$$
• $$tg(a) = \frac{\sqrt{21}}{2}$$
• $$cos(2a) = -\frac{17}{25}$$
• $$sin(\frac{a}{2}) = \frac{\sqrt{70}}{10}$$