Вычислите скалярное произведение векторов и угол между ними, если \(\vec{a}=\{-2,5; 2,5; 0\}\) и \(\(\vec{b}\)=\{-5; 5; 5\(\sqrt{2}\)\}

Решение:

Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-2,5) \cdot (-5) + 2,5 \cdot 5 + 0 \cdot 5\sqrt{2} \]\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 12,5 + 12,5 + 0 = 25 \]

Длины векторов:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{(-2,5)^2 + (2,5)^2 + 0^2} = \sqrt{6,25 + 6,25} = \sqrt{12,5} \]\[ |\vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 + 25 + 25 \cdot 2} = \sqrt{50 + 50} = \sqrt{100} = 10 \]

Угол между векторами \(\alpha\):

\[ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{25}{\sqrt{12,5} \cdot 10} = \frac{2,5}{\sqrt{12,5}} = \frac{2,5}{\sqrt{\frac{25}{2}}} = \frac{2,5}{\frac{5}{\sqrt{2}}} = \frac{2,5 \cdot \sqrt{2}}{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]\[ \alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^{\circ} \]

Ответ: Скалярное произведение равно 25, угол между векторами 45°.