Вычислите \(tg \beta\), если дано \(tg \alpha = 2\) и \(tg(\alpha + \beta) = 4\).

Для решения этой задачи нам потребуется формула тангенса суммы двух углов: \[tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}\] Мы знаем, что \(tg \alpha = 2\) и \(tg(\alpha + \beta) = 4\). Подставим эти значения в формулу: \[4 = \frac{2 + tg \beta}{1 - 2 \cdot tg \beta}\] Теперь нам нужно решить это уравнение относительно \(tg \beta\). Умножим обе части уравнения на \(1 - 2 \cdot tg \beta\): \[4(1 - 2 \cdot tg \beta) = 2 + tg \beta\] Раскроем скобки: \[4 - 8 \cdot tg \beta = 2 + tg \beta\] Перенесем все члены с \(tg \beta\) в одну сторону, а числа в другую: \[4 - 2 = tg \beta + 8 \cdot tg \beta\] \[2 = 9 \cdot tg \beta\] Теперь разделим обе части на 9, чтобы найти \(tg \beta\): \[tg \beta = \frac{2}{9}\] Таким образом, \(tg \beta = \frac{2}{9}\). Ответ: \(\frac{2}{9}\)