464 Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если: а) A (3; -2; 4), B (4; -1; 2), C (6; -3; 2), D (7; -3; 1); б) A (5; -8; -1), B (6; -8; -2), C (7; -5; -11), D (7; -7; -9); в) A (1; 0; 2), B (2; 1; 0), C (0; -2; -4), D (-2; -4; 0); г) A (-6; -15; 7), B (-7; -15; 8), C (14; -10; 9), D (14; -10; 7).

Решение: а) Даны точки A(3; -2; 4), B(4; -1; 2), C(6; -3; 2), D(7; -3; 1). 1. Найдем векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$. $$\vec{AB} = (4-3; -1-(-2); 2-4) = (1; 1; -2)$$ $$\vec{CD} = (7-6; -3-(-3); 1-2) = (1; 0; -1)$$ 2. Найдем косинус угла между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$. $$\cos \varphi = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot (-1)}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{1 + 0 + 2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 3. Найдем угол $$\varphi$$ между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$. $$\varphi = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$$ Ответ: 30° б) Даны точки A(5; -8; -1), B(6; -8; -2), C(7; -5; -11), D(7; -7; -9). 1. Найдем векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$. $$\vec{AB} = (6-5; -8-(-8); -2-(-1)) = (1; 0; -1)$$ $$\vec{CD} = (7-7; -7-(-5); -9-(-11)) = (0; -2; 2)$$ 2. Найдем косинус угла между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$. $$\cos \varphi = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} = \frac{1 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{0 + 0 - 2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}} = \frac{-2}{\sqrt{16}} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ 3. Найдем угол $$\varphi$$ между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$. $$\varphi = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$$ Ответ: 120° в) Даны точки A(1; 0; 2), B(2; 1; 0), C(0; -2; -4), D(-2; -4; 0). 1. Найдем векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$. $$\vec{AB} = (2-1; 1-0; 0-2) = (1; 1; -2)$$ $$\vec{CD} = (-2-0; -4-(-2); 0-(-4)) = (-2; -2; 4)$$ 2. Найдем косинус угла между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$. $$\cos \varphi = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} = \frac{1 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 4}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 4^2}} = \frac{-2 - 2 - 8}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{24}} = \frac{-12}{\sqrt{144}} = \frac{-12}{12} = -1$$ 3. Найдем угол $$\varphi$$ между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$. $$\varphi = \arccos(-1) = 180^\circ$$ Ответ: 180° г) Даны точки A(-6; -15; 7), B(-7; -15; 8), C(14; -10; 9), D(14; -10; 7). 1. Найдем векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$. $$\vec{AB} = (-7-(-6); -15-(-15); 8-7) = (-1; 0; 1)$$ $$\vec{CD} = (14-14; -10-(-10); 7-9) = (0; 0; -2)$$ 2. Найдем косинус угла между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$. $$\cos \varphi = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} = \frac{(-1) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-2)}{\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2}} = \frac{0 + 0 - 2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4}} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 3. Найдем угол $$\varphi$$ между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$. $$\varphi = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 135^\circ$$ Ответ: 135°