Вычислите выражение: \( \frac{5^7 \cdot 6^7}{30^3} + \frac{3^3 \cdot 3^9}{3^8} \)

Решение: \( \frac{5^7 \cdot 6^7}{30^3} + \frac{3^3 \cdot 3^9}{3^8} \) 1. Выразим \(30^3\) через \(5\), \(6\) и \(3\): \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\), значит \(30^3 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3\). 2. Подставим это в первое слагаемое: \(\frac{5^7 \cdot 6^7}{30^3} = \frac{5^7 \cdot 6^7}{2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3} = \frac{5^7 \cdot (2 \cdot 3)^7}{2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3} = \frac{5^7 \cdot 2^7 \cdot 3^7}{2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3}\). 3. Сократим степени: \(\frac{5^7 \cdot 2^7 \cdot 3^7}{2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3} = 5^{7-3} \cdot 2^{7-3} \cdot 3^{7-3} = 5^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4\). 4. Упростим второе слагаемое: \(\frac{3^3 \cdot 3^9}{3^8} = \frac{3^{3+9}}{3^8} = 3^{12-8} = 3^4\). 5. Сложим результаты: \(5^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4 + 3^4 = 3^4 (5^4 \cdot 2^4 + 1)\). 6. Внесем числа: \(5^4 = 625\), \(2^4 = 16\), \(3^4 = 81\). \(5^4 \cdot 2^4 + 1 = 625 \cdot 16 + 1 = 10000 + 1 = 10001\). 7. Итог: \(3^4 \cdot 10001 = 81 \cdot 10001 = 810081\). Ответ: \(810081\).