Вычислите значение выражения: $$\frac{14 - (49\frac{1}{3} : 16 - 14 : 8\frac{1}{6}) \cdot 7}{1\frac{17}{18} \cdot (1\frac{59}{70} + \frac{37}{42} + 2\frac{19}{30}) - 10}$$

Решим пример по действиям:

1. Сначала решим выражение в скобках в числителе. Преобразуем смешанные дроби в неправильные дроби:
   $$49\frac{1}{3} = \frac{49 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{147 + 1}{3} = \frac{148}{3}$$ $$8\frac{1}{6} = \frac{8 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{48 + 1}{6} = \frac{49}{6}$$

   Тогда выражение в скобках будет иметь вид:

   $$\frac{148}{3} : 16 - 14 : \frac{49}{6} = \frac{148}{3} \cdot \frac{1}{16} - 14 \cdot \frac{6}{49}$$

   Сократим дроби:

   $$\frac{148}{3} \cdot \frac{1}{16} = \frac{37}{3 \cdot 4} = \frac{37}{12}$$ $$14 \cdot \frac{6}{49} = 2 \cdot \frac{6}{7} = \frac{12}{7}$$

   Получаем:

   $$\frac{37}{12} - \frac{12}{7} = \frac{37 \cdot 7 - 12 \cdot 12}{12 \cdot 7} = \frac{259 - 144}{84} = \frac{115}{84}$$
2. Теперь умножим полученный результат на 7:
   $$\frac{115}{84} \cdot 7 = \frac{115}{12}$$
3. Вычислим числитель:
   $$14 - \frac{115}{12} = \frac{14 \cdot 12 - 115}{12} = \frac{168 - 115}{12} = \frac{53}{12}$$
4. Решим выражение в скобках в знаменателе. Преобразуем смешанные дроби в неправильные дроби:
   $$1\frac{59}{70} = \frac{1 \cdot 70 + 59}{70} = \frac{70 + 59}{70} = \frac{129}{70}$$ $$2\frac{19}{30} = \frac{2 \cdot 30 + 19}{30} = \frac{60 + 19}{30} = \frac{79}{30}$$

   Тогда выражение в скобках будет иметь вид:

   $$\frac{129}{70} + \frac{37}{42} + \frac{79}{30} = \frac{129 \cdot 6 + 37 \cdot 10 + 79 \cdot 14}{420} = \frac{774 + 370 + 1106}{420} = \frac{2250}{420} = \frac{225}{42} = \frac{75}{14}$$
5. Преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь:
   $$1\frac{17}{18} = \frac{1 \cdot 18 + 17}{18} = \frac{18 + 17}{18} = \frac{35}{18}$$
6. Вычислим знаменатель:
   $$\frac{35}{18} \cdot \frac{75}{14} - 10 = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 2} \cdot 25 - 10 = \frac{125}{12} - 10 = \frac{125 - 120}{12} = \frac{5}{12}$$
7. Разделим числитель на знаменатель:
   $$\frac{53}{12} : \frac{5}{12} = \frac{53}{12} \cdot \frac{12}{5} = \frac{53}{5} = 10\frac{3}{5}$$

Ответ: 10$$\frac{3}{5}$$