Вычислите значение выражения: $$\sqrt{(4\sqrt{2}-7)^2}+4\sqrt{2}$$

Для решения данного выражения, необходимо упростить его, используя свойства квадратных корней и квадратов.

1. Упрощение квадратного корня

   Так как $$\sqrt{a^2} = |a|$$, то $$\sqrt{(4\sqrt{2}-7)^2} = |4\sqrt{2}-7|$$.

2. Определение знака выражения под модулем

   Сравним $$4\sqrt{2}$$ и $$7$$. Возведём оба числа в квадрат:

   • $$(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$$
   • $$7^2 = 49$$

   Так как $$32 < 49$$, то $$4\sqrt{2} < 7$$, следовательно, $$4\sqrt{2} - 7 < 0$$.

3. Раскрытие модуля

   Поскольку $$4\sqrt{2} - 7 < 0$$, то $$|4\sqrt{2} - 7| = -(4\sqrt{2} - 7) = 7 - 4\sqrt{2}$$.

4. Подстановка в исходное выражение

   Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:

   $$7 - 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$$

5. Окончательное упрощение

   Сокращаем $$-4\sqrt{2}$$ и $$4\sqrt{2}$$:

   $$7 - 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7$$

Ответ: 7