5. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом: \(2\frac{2}{7} - 2\frac{5}{6} - 1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{7} + 2\frac{2}{3}\)

Чтобы вычислить значение выражения наиболее удобным способом, перегруппируем слагаемые, чтобы упростить вычисления.

\(2\frac{2}{7} - 2\frac{5}{6} - 1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{7} + 2\frac{2}{3} = (2\frac{2}{7} + 2\frac{2}{7}) - 2\frac{5}{6} + 2\frac{2}{3} - 1\frac{3}{4}\)

Сначала сложим дроби с одинаковым знаменателем:

\(2\frac{2}{7} + 2\frac{2}{7} = 4\frac{4}{7}\)

Теперь преобразуем остальные смешанные числа в неправильные дроби:

\(2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}\)

\(2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}\)

\(1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}\)

Теперь выражение будет выглядеть так:

\(4\frac{4}{7} - \frac{17}{6} + \frac{8}{3} - \frac{7}{4}\)

Преобразуем \(4\frac{4}{7}\) в неправильную дробь:

\(4\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{32}{7}\)

Выражение примет вид:

\(\frac{32}{7} - \frac{17}{6} + \frac{8}{3} - \frac{7}{4}\)

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7, 6, 3, 4 - это 84. Домножим числители на соответствующие множители:

\(\frac{32 \cdot 12}{7 \cdot 12} - \frac{17 \cdot 14}{6 \cdot 14} + \frac{8 \cdot 28}{3 \cdot 28} - \frac{7 \cdot 21}{4 \cdot 21} = \frac{384}{84} - \frac{238}{84} + \frac{224}{84} - \frac{147}{84}\)

Теперь выполним вычисления:

\(\frac{384 - 238 + 224 - 147}{84} = \frac{223}{84}\)

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

\(\frac{223}{84} = 2\frac{55}{84}\)

Ответ: \(2\frac{55}{84}\)