583. Вычислите: a) \frac{5^3 \cdot 25^2}{5^8}; б) \frac{2^5 \cdot 8}{4^4}; B) \frac{4^5 \cdot 3^8}{6^9}.

a) Вычислим \frac{5^3 \cdot 25^2}{5^8}. Представим 25 как 5 в квадрате: $$25 = 5^2$$, тогда:$$\frac{5^3 \cdot 25^2}{5^8} = \frac{5^3 \cdot (5^2)^2}{5^8} = \frac{5^3 \cdot 5^4}{5^8} = \frac{5^{3+4}}{5^8} = \frac{5^7}{5^8} = 5^{7-8} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2$$. б) Вычислим \frac{2^5 \cdot 8}{4^4}. Представим 8 как 2 в кубе: $$8 = 2^3$$, а 4 как 2 в квадрате: $$4 = 2^2$$, тогда: $$\frac{2^5 \cdot 8}{4^4} = \frac{2^5 \cdot 2^3}{(2^2)^4} = \frac{2^{5+3}}{2^8} = \frac{2^8}{2^8} = 1$$. в) Вычислим \frac{4^5 \cdot 3^8}{6^9}. Представим 4 как 2 в квадрате: $$4 = 2^2$$, а 6 как произведение 2 и 3: $$6 = 2 \cdot 3$$, тогда: $$\frac{4^5 \cdot 3^8}{6^9} = \frac{(2^2)^5 \cdot 3^8}{(2 \cdot 3)^9} = \frac{2^{10} \cdot 3^8}{2^9 \cdot 3^9} = \frac{2^{10}}{2^9} \cdot \frac{3^8}{3^9} = 2^{10-9} \cdot 3^{8-9} = 2^1 \cdot 3^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$. Ответ: а) 0,2; б) 1; в) $$\frac{2}{3}$$.