Вычисление выражений с корнями

1. a) $$\sqrt{11^4} = (11^4)^{\frac{1}{2}} = 11^{4 \cdot \frac{1}{2}} = 11^2 = 121$$
2. б) $$\sqrt{4^6} = (4^6)^{\frac{1}{2}} = 4^{6 \cdot \frac{1}{2}} = 4^3 = 64$$
3. в) $$\sqrt{(-3)^6} = ((-3)^6)^{\frac{1}{2}} = (-3)^{6 \cdot \frac{1}{2}} = (-3)^3 = -27$$. Однако, поскольку корень квадратный, необходимо взять модуль результата: $$|-27| = 27$$. Но так как $$(-3)^6 = 3^6$$, можно сразу записать $$\sqrt{(-3)^6} = \sqrt{3^6} = 3^3 = 27$$
4. г) $$\sqrt{(-6)^4} = ((-6)^4)^{\frac{1}{2}} = (-6)^{4 \cdot \frac{1}{2}} = (-6)^2 = 36$$
5. д) $$\sqrt{2^8 \cdot 3^2} = (2^8)^{\frac{1}{2}} \cdot (3^2)^{\frac{1}{2}} = 2^{8 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 3^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$$
6. е) $$\sqrt{3^4 \cdot 5^6} = (3^4)^{\frac{1}{2}} \cdot (5^6)^{\frac{1}{2}} = 3^{4 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 5^{6 \cdot \frac{1}{2}} = 3^2 \cdot 5^3 = 9 \cdot 125 = 1125$$
7. ж) $$\sqrt{7^2 \cdot 2^8} = (7^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (2^8)^{\frac{1}{2}} = 7^{2 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 2^{8 \cdot \frac{1}{2}} = 7^1 \cdot 2^4 = 7 \cdot 16 = 112$$
8. з) $$\sqrt{3^6 \cdot 5^4} = (3^6)^{\frac{1}{2}} \cdot (5^4)^{\frac{1}{2}} = 3^{6 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 5^{4 \cdot \frac{1}{2}} = 3^3 \cdot 5^2 = 27 \cdot 25 = 675$$
9. и) $$\sqrt{8^4 \cdot 5^6} = (8^4)^{\frac{1}{2}} \cdot (5^6)^{\frac{1}{2}} = 8^{4 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 5^{6 \cdot \frac{1}{2}} = 8^2 \cdot 5^3 = 64 \cdot 125 = 8000$$