1. Вычислите: a) lim(√n+3-√n); n→∞ б) lim ((n+1)³ - (n-1)³)/(n³ +1); n→∞ в) lim ((2n²+3)/(2n²+1))^n²; n→∞ г) lim (x²+2x-3)/(x³+5x²+6x); x→-3 д) lim x/(2-√(x+4)); x→0 e) lim (1+ cos 5x)/(sin² 3x); x→π 2. Найдите точки разрыва функции, определите их тип; в случае скачка укажите его величину. Сделайте чертеж: f(x) = {-2, x<-π/2; 2sinx, -π/2≤x≤π/2; 1, x>π/2.

1. Вычислите: а) $$ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+3} - \sqrt{n}) $$ Умножим и разделим на сопряженное выражение: $$ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+3} - \sqrt{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+3} - \sqrt{n})(\sqrt{n+3} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+3 - n}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n}} $$ Так как при $$n \to \infty$$ знаменатель стремится к бесконечности, то предел равен 0. Ответ: 0 б) $$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 - (n-1)^3}{n^3 + 1} $$ Раскроем кубы в числителе: $$ (n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 $$ $$ (n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1 $$ Тогда: $$ (n+1)^3 - (n-1)^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) = 6n^2 + 2 $$ Исходный предел: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{6n^2 + 2}{n^3 + 1} $$ Разделим числитель и знаменатель на $$n^3$$: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6n^2}{n^3} + \frac{2}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3} + \frac{1}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6}{n} + \frac{2}{n^3}}{1 + \frac{1}{n^3}} $$ Так как при $$n \to \infty$$ дроби $$\frac{6}{n}$$, $$\frac{2}{n^3}$$, $$\frac{1}{n^3}$$ стремятся к 0, то предел равен $$\frac{0 + 0}{1 + 0} = 0$$ Ответ: 0 в) $$ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n^2 + 3}{2n^2 + 1}\right)^{n^2} $$ Преобразуем выражение внутри предела: $$ \frac{2n^2 + 3}{2n^2 + 1} = \frac{2n^2 + 1 + 2}{2n^2 + 1} = 1 + \frac{2}{2n^2 + 1} $$ Тогда: $$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2n^2 + 1}\right)^{n^2} $$ Используем второй замечательный предел: $$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $$ Преобразуем наш предел: $$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2n^2 + 1}\right)^{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left[\left(1 + \frac{2}{2n^2 + 1}\right)^{\frac{2n^2 + 1}{2}}\right]^{\frac{2}{2n^2 + 1} \cdot n^2} $$ Внутреннее выражение стремится к e. Рассмотрим предел степени: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{2n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{2 + \frac{1}{n^2}} = \frac{2}{2 + 0} = 1 $$ Тогда исходный предел равен $$e^1 = e$$ Ответ: e г) $$ \lim_{x \to -3} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 + 5x^2 + 6x} $$ Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $$x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$$ Знаменатель: $$x^3 + 5x^2 + 6x = x(x^2 + 5x + 6) = x(x + 2)(x + 3)$$ Тогда: $$ \lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)(x - 1)}{x(x + 2)(x + 3)} = \lim_{x \to -3} \frac{x - 1}{x(x + 2)} = \frac{-3 - 1}{-3(-3 + 2)} = \frac{-4}{-3(-1)} = \frac{-4}{3} $$ Ответ: -4/3 д) $$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{2 - \sqrt{x + 4}} $$ Умножим и разделим на сопряженное выражение: $$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{2 - \sqrt{x + 4}} = \lim_{x \to 0} \frac{x(2 + \sqrt{x + 4})}{(2 - \sqrt{x + 4})(2 + \sqrt{x + 4})} = \lim_{x \to 0} \frac{x(2 + \sqrt{x + 4})}{4 - (x + 4)} = \lim_{x \to 0} \frac{x(2 + \sqrt{x + 4})}{-x} $$ $$ = \lim_{x \to 0} -(2 + \sqrt{x + 4}) = -(2 + \sqrt{0 + 4}) = -(2 + 2) = -4 $$ Ответ: -4 е) $$ \lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos 5x}{\sin^2 3x} $$ Используем формулу $$ \cos 5x = -1 + 2\cos^2(\frac{5x}{2})$$ Тогда $$ \lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos 5x}{\sin^2 3x} = \lim_{x \to \pi} \frac{1 - 1 + 2\cos^2(\frac{5x}{2})}{\sin^2 3x} = \lim_{x \to \pi} \frac{2\cos^2(\frac{5x}{2})}{\sin^2 3x} $$ Положим $$y = x - \pi$$, тогда $$x = y + \pi$$ и при $$x \to \pi$$ имеем $$y \to 0$$. $$ \lim_{y \to 0} \frac{2\cos^2(\frac{5(y+\pi)}{2})}{\sin^2(3(y+\pi))} = \lim_{y \to 0} \frac{2\cos^2(\frac{5y}{2} + \frac{5\pi}{2})}{\sin^2(3y + 3\pi)} $$ $$ \cos(\frac{5y}{2} + \frac{5\pi}{2}) = - \sin(\frac{5y}{2}) $$ $$ \sin(3y + 3\pi) = - \sin(3y) $$ $$ \lim_{y \to 0} \frac{2(-\sin(\frac{5y}{2}))^2}{(-\sin(3y))^2} = \lim_{y \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{5y}{2})}{\sin^2(3y)} $$ Умножим числитель и знаменатель на $$\frac{y^2}{y^2}$$: $$ \lim_{y \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{5y}{2}) \cdot \frac{y^2}{y^2}}{\sin^2(3y) \cdot \frac{y^2}{y^2}} = \lim_{y \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{5y}{2}) \cdot y^2}{\sin^2(3y) \cdot y^2} = \lim_{y \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{5y}{2}) \cdot (\frac{5y}{2})^2 \cdot \frac{4}{25}}{\sin^2(3y) \cdot (3y)^2 \cdot \frac{1}{9}} $$ $$ = \lim_{y \to 0} \frac{2 \cdot (\frac{5y}{2})^2 \cdot \frac{4}{25}}{(3y)^2 \cdot \frac{1}{9}} = \frac{2 \cdot \frac{25}{4} \cdot \frac{4}{25}}{\frac{1}{9}} = \frac{2}{\frac{1}{9}} = 18 $$ Ответ: 18 2. Найдите точки разрыва функции, определите их тип; в случае скачка укажите его величину. Сделайте чертеж: $$ f(x) = \begin{cases} -2, & x < -\frac{\pi}{2} \\ 2\sin x, & -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 1, & x > \frac{\pi}{2} \end{cases} $$ Функция определена на всей числовой прямой. Проверим непрерывность в точках $$x = -\frac{\pi}{2}$$ и $$x = \frac{\pi}{2}$$. В точке $$x = -\frac{\pi}{2}$$: $$ \lim_{x \to -\frac{\pi}{2} - 0} f(x) = -2 $$ $$ \lim_{x \to -\frac{\pi}{2} + 0} f(x) = 2\sin(-\frac{\pi}{2}) = 2(-1) = -2 $$ Так как левый и правый пределы равны, то функция непрерывна в точке $$x = -\frac{\pi}{2}$$. В точке $$x = \frac{\pi}{2}$$: $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} f(x) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2(1) = 2 $$ $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} f(x) = 1 $$ Так как левый и правый пределы не равны, то в точке $$x = \frac{\pi}{2}$$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Величина скачка: $$|2 - 1| = 1$$ Точка разрыва: $$x = \frac{\pi}{2}$$ - разрыв первого рода, величина скачка равна 1.