Вычисление логарифмических выражений

1. а) log₂16

   Нужно найти степень, в которую необходимо возвести 2, чтобы получить 16. Так как 2⁴ = 16, то:

   $$log_2 16 = 4$$

2. б) log₄256

   Нужно найти степень, в которую необходимо возвести 4, чтобы получить 256. Так как 4⁴ = 256, то:

   $$log_4 256 = 4$$

3. в) log₃(1/27)

   Нужно найти степень, в которую необходимо возвести 3, чтобы получить 1/27. Так как 3⁻³ = 1/27, то:

   $$log_3 \frac{1}{27} = -3$$

4. г) log₅(1/125)

   Нужно найти степень, в которую необходимо возвести 5, чтобы получить 1/125. Так как 5⁻³ = 1/125, то:

   $$log_5 \frac{1}{125} = -3$$

5. д) log₇1

   Нужно найти степень, в которую необходимо возвести 7, чтобы получить 1. Любое число в степени 0 равно 1, поэтому:

   $$log_7 1 = 0$$

6. е) 3^(log₃12)

   Используем основное логарифмическое тождество: $$a^{log_a b} = b$$. Следовательно:

   $$3^{log_3 12} = 12$$

7. ж) 6^(log₆15)

   Используем основное логарифмическое тождество: $$a^{log_a b} = b$$. Следовательно:

   $$6^{log_6 15} = 15$$

8. з) 6^(3log₆2)

   Используем свойство логарифмов: $$n \cdot log_a b = log_a b^n$$. И основное логарифмическое тождество: $$a^{log_a b} = b$$. Следовательно:

   $$6^{3log_6 2} = 6^{log_6 2^3} = 6^{log_6 8} = 8$$

9. и) 5^(4log₅3)

   Используем свойство логарифмов: $$n \cdot log_a b = log_a b^n$$. И основное логарифмическое тождество: $$a^{log_a b} = b$$. Следовательно:

   $$5^{4log_5 3} = 5^{log_5 3^4} = 5^{log_5 81} = 81$$

10. к) 8^(log₂4)

    Представим 8 как 2³ и используем свойство логарифмов: $$log_a b^n = n \cdot log_a b$$. Следовательно:

    $$8^{log_2 4} = (2^3)^{log_2 4} = 2^{3log_2 4} = 2^{log_2 4^3} = 2^{log_2 64} = 64$$