Выполним задание, определив грамматическую основу и вид односоставного предложения в каждом из предложений.
Уже смеркалось и в комнате стало темно.
Грамматическая основа: смеркалось, стало темно.
Предложение односоставное, безличное.
Хорошо в зимнем лесу!
Грамматическая основа: хорошо.
Предложение односоставное, безличное.
С утра морозит.
Грамматическая основа: морозит.
Предложение односоставное, безличное.
Иду по зимнему поселку, и легко мне дышится.
Грамматическая основа: иду, дышится.
Первая часть двусоставное, вторая — односоставное, безличное.
Ночью холодом веет с земли.
Грамматическая основа: веет.
Предложение односоставное, безличное.
За одного битого двух небитых дают.
Грамматическая основа: дают.
Предложение односоставное, неопределённо-личное.
От его слов становится Никите нестерпимо жутко.
Грамматическая основа: становится жутко.
Предложение односоставное, безличное.
Ответ: грамматические основы и виды предложений указаны выше.