Решение:

1. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь: $$\frac{3}{4} : \frac{5}{6} = \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 5} = \frac{18}{20}$$ Сократим дробь: 18 и 20 делятся на 2: $$\frac{18}{20} = \frac{9}{10}$$ $$1 : 1\frac{1}{6} = 1 : \frac{7}{6} = 1 \cdot \frac{6}{7} = \frac{6}{7}$$
2. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2}$$
3. Выполним умножение: $$\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$$
4. Выполним сложение и вычитание: $$\frac{9}{10} + 1 - \frac{6}{7} = \frac{9}{10} + \frac{10}{10} - \frac{6}{7} = \frac{19}{10} - \frac{6}{7} = \frac{19 \cdot 7 - 6 \cdot 10}{70} = \frac{133 - 60}{70} = \frac{73}{70}$$
5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $$\frac{73}{70} = 1\frac{3}{70}$$

Ответ: $$1\frac{3}{70}$$