13. Выполните действия. 1) Решите уравнение sin 2x = sin(π/2 + x). 2) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2; 1].

Здравствуйте, ребята! Давайте решим это задание. **1) Решим уравнение \( \sin 2x = \sin(\frac{\pi}{2} + x) \).** Используем формулу \(\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x \). Тогда уравнение примет вид: \(\sin 2x = \cos x \) Используем формулу двойного угла \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x \). Тогда уравнение примет вид: \(2 \sin x \cos x = \cos x \) Перенесем все в левую часть: \(2 \sin x \cos x - \cos x = 0 \) Вынесем \(\cos x \) за скобку: \(\cos x (2 \sin x - 1) = 0 \) Тогда либо \(\cos x = 0 \), либо \(2 \sin x - 1 = 0 \). * \(\cos x = 0 \) \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) * \(2 \sin x - 1 = 0 \) \(\sin x = \frac{1}{2} \) \(x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \) \(x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, m \in \mathbb{Z} \) **2) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2; 1].** Нужно выразить концы отрезка в радианах: \([-2; 1] \approx [-6.28/3.14; 3.14/3.14] \approx [-0.64 \pi ; 0.32 \pi] \) Подставляем различные значения \(n, k, m \) и выбираем корни, принадлежащие отрезку \([-2; 1] \). * \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) При \(n = 0 \): \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \) - не подходит. При \(n = -1 \): \(x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 \) - подходит. При \(n = -2 \): \(x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71 \) - не подходит. * \(x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \) При \(k = 0 \): \(x = \frac{\pi}{6} \approx 0.52 \) - подходит. При \(k = -1 \): \(x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} \approx -5.76 \) - не подходит. * \(x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m \) При \(m = 0 \): \(x = \frac{5 \pi}{6} \approx 2.62 \) - не подходит. При \(m = -1 \): \(x = \frac{5 \pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} \approx -3.67 \) - не подходит. Итак, корни, принадлежащие отрезку \([-2; 1] \): \(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6} \). **Ответ:** \(x = -\frac{\pi}{2}, x = \frac{\pi}{6} \). **Развернутый ответ для школьника:** 1. Сначала мы решили тригонометрическое уравнение, используя формулы приведения и формулы двойного угла. 2. Получили общее решение уравнения в виде нескольких серий корней. 3. Затем мы нашли корни, которые попадают в заданный отрезок \([-2; 1] \), подставляя различные целые значения в параметры \(n, k, m \). 4. В итоге, отобрали только те значения, которые соответствуют заданному отрезку.