Словосочетание «ожил без забот» построено на основе управления: главное слово ожил (глагол), зависимое — забот (существительное с предлогом без). Управление — это подчинительная связь, при которой главное слово (глагол, существительное, прилагательное) требует от зависимого слова определённого падежа.
Чтобы заменить его синонимичным словосочетанием со связью примыкание, нужно найти наречие, которое по смыслу близко к «без забот».
Связь примыкание — это подчинительная связь, при которой главное слово связано с зависимым (обычно наречием, деепричастием, инфинитивом) только по смыслу, без падежного управления.
Синонимом к «без забот» является наречие беззаботно.
Получившееся словосочетание: ожил беззаботно.
Ответ: ожил беззаботно