Выразите через тригонометрические функции углов α и β отрезки, обозначенные на рисунках буквами x и y (рис. 20, а-з).

а)

В прямоугольном треугольнике:

• $$sin \alpha = \frac{x}{5}$$
• $$x = 5 \cdot sin \alpha$$
• $$cos \alpha = \frac{y}{5}$$
• $$y = 5 \cdot cos \alpha$$

б)

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны α, следовательно, третий угол равен $$180° - 2\alpha$$. Сторона x может быть найдена, если знать высоту, проведенную к ней, но в условии задачи этих данных нет.

в)

Угол, смежный с углом β, равен 90°. Тогда:

• $$sin \alpha = \frac{1}{x}$$
• $$x = \frac{1}{sin \alpha}$$
• $$tg \beta = \frac{y}{1} = y$$
• $$y = tg \beta$$

г)

Сумма углов прилежащих к стороне х в четырехугольнике, равна 90°.

• $$tg \alpha = \frac{y}{x}$$
• $$y = x \cdot tg \alpha$$
• $$tg \beta = \frac{1}{x}$$
• $$x = \frac{1}{tg \beta}$$

Тогда:

• $$y = \frac{tg \alpha}{tg \beta}$$

д)

В прямоугольном треугольнике:

• $$cos \alpha = \frac{y}{1}$$
• $$y = cos \alpha$$
• $$tg \alpha = \frac{x}{y} = \frac{x}{cos \alpha}$$
• $$x = cos \alpha \cdot tg \alpha = cos \alpha \cdot \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = sin \alpha$$
• $$x = sin \alpha$$

е)

В прямоугольном треугольнике:

• $$tg \alpha = \frac{x}{1}$$
• $$x = tg \alpha$$
• $$tg \alpha = \frac{1}{y}$$
• $$y = \frac{1}{tg \alpha}$$

ж)

По теореме косинусов:

• $$x^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot cos \beta = 9 + 4 - 12 cos \beta = 13 - 12 cos \beta$$
• $$cos \beta = \frac{13 - x^2}{12}$$
• $$2^2 = 3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot cos \alpha$$
• $$4 = 9 + x^2 - 6x cos \alpha$$
• $$cos \alpha = \frac{5 + x^2}{6x}$$

з)

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

• $$\frac{180 - \alpha}{2} = 90 - \frac{\alpha}{2}$$
• $$sin \frac{\alpha}{2} = \frac{x}{1}$$
• $$x = sin \frac{\alpha}{2}$$