4. Высота BD треугольника АВС делит сторону АС на отрезки AD и CD, ВС = 6 см, ∠A = 30°, ∠CBD = 45°. Найдите отрезок AD.

Рассмотрим треугольник ABC, где BD - высота, BC = 6 см, ∠A = 30°, ∠CBD = 45°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. Так как ∠CBD = 45°, то ∠BCD = 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник BCD - равнобедренный, и BD = CD.

В прямоугольном треугольнике BCD:

$$\frac{BD}{BC} = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$ BD = BC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} $$

Так как BD = CD, то CD = 3√2 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. ∠A = 30°.

$$\frac{BD}{AD} = \text{tg } A = \text{tg } 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$ AD = \frac{BD}{\text{tg } 30^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{6}}{3} = 3\sqrt{6} \text{ см} $$

Ответ: AD = 3√6 см