5* Высота BD треугольника АВС делит сторону АС на отрезки AD и CD, BC = 6 см, ∠A = 30", ∠CBD = 45°. Найдите отрезок AD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC, где ∠CBD = 45°. Следовательно, ∠BCD = 45°. Значит, треугольник BDC равнобедренный, и BD = CD.

В прямоугольном треугольнике BDC:

$$BD^2 + CD^2 = BC^2$$

$$2BD^2 = 6^2$$

$$BD^2 = 18$$

$$BD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Следовательно, CD = $$3\sqrt{2}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. ∠A = 30°. Тангенс угла A - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

$$tg A = \frac{BD}{AD}$$

$$AD = \frac{BD}{tg A} = \frac{3\sqrt{2}}{tg 30^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{6}}{3} = 3\sqrt{6}$$

Ответ: $$3\sqrt{6}$$