Высота BM, проведённая из вершины тупого угла B ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°; длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM — высота к прямой AD, то BM ⟂ AD. Поскольку M лежит на продолжении AD, треугольник ABM прямоугольный, и ∠AMB = 90°.

Угол между BM и AB равен 30°, поэтому ∠ABM = 30°. В прямоугольном треугольнике ABM сторона AM лежит напротив угла 30°, следовательно, AM = AB / 2.

В ромбе диагональ AC делит угол A пополам. Обозначим ∠DAB = α. Так как M находится на продолжении AD за точку A, угол BAM равен 180° − α. Из суммы углов треугольника ABM получаем ∠BAM = 60°, значит α = 120°.

Для ромба со стороной AB и углом A = 120° диагональ AC равна AB, поскольку AC² = AB² + AB² + 2·AB²·cos 120° = AB². Поэтому AB = AC = 6 см и AM = AB / 2 = 3 см.

Ответ: 3 см.