* Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба.

Так как BM — высота к стороне AD, то BM ⟂ AD и треугольник ABM прямоугольный. В нём ∠ABM = 30°, а сторона AM = 4 см лежит напротив угла 30°.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, AB = 2 · AM = 8 см. Все стороны ромба равны, поэтому AB = AD = 8 см.

∠BAM = 60°, следовательно, угол BAD ромба равен 60°. В треугольнике ABD стороны AB и AD равны 8 см, а угол между ними равен 60°. По теореме косинусов:

BD² = 8² + 8² − 2 · 8 · 8 · cos 60° = 64.

Значит, BD = 8 см.

Ответ: 8 см.