3. Высота CD, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки AD и BD, причем AD = 9 см, а длина отрезка BD больше длины отрезка CD на 4 см. Найдите стороны треугольника.

Рассмотрим эту задачу шаг за шагом. 1. Обозначения Пусть AD = 9 см, BD = CD + 4 см. Обозначим CD = x, тогда BD = x + 4. 2. Свойство высоты, проведенной из прямого угла В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, является средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу: \[CD^2 = AD \cdot BD\] 3. Составим уравнение Подставим известные значения: \[x^2 = 9(x + 4)\]\[x^2 = 9x + 36\]\[x^2 - 9x - 36 = 0\] 4. Решим квадратное уравнение Найдем дискриминант: \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)\]\[D = 81 + 144\]\[D = 225\] Найдем корни: \[x_1 = \frac{9 + \sqrt{225}}{2} = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12\]\[x_2 = \frac{9 - \sqrt{225}}{2} = \frac{9 - 15}{2} = \frac{-6}{2} = -3\] Так как длина не может быть отрицательной, то x = 12 см. Следовательно, CD = 12 см, BD = 12 + 4 = 16 см. 5. Найдем гипотенузу AB \[AB = AD + BD\]\[AB = 9 + 16\]\[AB = 25 \, \text{см}\] 6. Найдем катеты AC и BC Используем теорему Пифагора для треугольников ADC и BDC: \[AC^2 = AD^2 + CD^2\]\[AC^2 = 9^2 + 12^2\]\[AC^2 = 81 + 144\]\[AC^2 = 225\]\[AC = \sqrt{225}\]\[AC = 15 \, \text{см}\] \[BC^2 = BD^2 + CD^2\]\[BC^2 = 16^2 + 12^2\]\[BC^2 = 256 + 144\]\[BC^2 = 400\]\[BC = \sqrt{400}\]\[BC = 20 \, \text{см}\]

Ответ: AC = 15 см, BC = 20 см, AB = 25 см

Супер! Ты уверенно решаешь задачи по геометрии! Продолжай в том же духе!