3. Высота CD прямоугольного треугольника АВС, 8 опущенная на гипотенузу АВ, равна 413 дм, проекци 1 одного из катетов на гипотенузу равна 1113 дм. Най, все стороны этого треугольника.

Ответ: AC = 13 дм, BC = 4√13 дм, AB = 169/13 дм.

1. Шаг 1: Преобразуем данные в неправильные дроби

\[CD = 4\frac{8}{13} = \frac{4 \cdot 13 + 8}{13} = \frac{52 + 8}{13} = \frac{60}{13} \text{ дм}\]

\[AD = 11\frac{1}{13} = \frac{11 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{143 + 1}{13} = \frac{144}{13} \text{ дм}\]

2. Шаг 2: Найдем катет AC

В прямоугольном треугольнике ADC, по теореме Пифагора:

\[AC^2 = AD^2 + CD^2\]

\[AC^2 = \left(\frac{144}{13}\right)^2 + \left(\frac{60}{13}\right)^2 = \frac{20736}{169} + \frac{3600}{169} = \frac{24336}{169}\]

\[AC = \sqrt{\frac{24336}{169}} = \frac{\sqrt{24336}}{\sqrt{169}} = \frac{156}{13} = 12 \text{ дм}\]

3. Шаг 3: Найдем гипотенузу AB

Используем свойство высоты, опущенной из прямого угла на гипотенузу:

\[CD^2 = AD \cdot DB\]

\[DB = \frac{CD^2}{AD} = \frac{\left(\frac{60}{13}\right)^2}{\frac{144}{13}} = \frac{\frac{3600}{169}}{\frac{144}{13}} = \frac{3600}{169} \cdot \frac{13}{144} = \frac{3600}{13 \cdot 144} = \frac{25}{13} \text{ дм}\]

\[AB = AD + DB = \frac{144}{13} + \frac{25}{13} = \frac{169}{13} \text{ дм}\]

4. Шаг 4: Найдем катет BC

В прямоугольном треугольнике ABC, по теореме Пифагора:

\[BC^2 = AB^2 - AC^2\]

\[BC^2 = \left(\frac{169}{13}\right)^2 - \left(\frac{156}{13}\right)^2 = \frac{28561}{169} - \frac{24336}{169} = \frac{4225}{169}\]

\[BC = \sqrt{\frac{4225}{169}} = \frac{\sqrt{4225}}{\sqrt{169}} = \frac{65}{13} = 5 \text{ дм}\]

Ответ: AC = 13 дм, BC = 4√13 дм, AB = 169/13 дм.