12. Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,8 + 8t - 5t², где һ - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4,2 метров?

Для решения этой задачи нам нужно найти, в течение какого времени высота мяча будет не менее 4.2 метров. То есть, нам нужно решить неравенство: $$1.8 + 8t - 5t^2 \ge 4.2$$ Перенесем все члены в правую часть и изменим знак: $$5t^2 - 8t + 4.2 - 1.8 \le 0$$ $$5t^2 - 8t + 2.4 \le 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$5t^2 - 8t + 2.4 = 0$$ Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2.4 = 64 - 48 = 16$$ Теперь найдем корни: $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 4}{10} = \frac{12}{10} = 1.2$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 4}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$$ Итак, корни уравнения: $$t_1 = 1.2$$ и $$t_2 = 0.4$$. Поскольку перед $$t^2$$ стоит положительный коэффициент, парабола направлена вверх, и неравенство $$5t^2 - 8t + 2.4 \le 0$$ выполняется между корнями. То есть, мяч будет находиться на высоте не менее 4.2 метров в течение времени от 0.4 до 1.2 секунды. Найдем продолжительность этого времени: $$1.2 - 0.4 = 0.8$$ Ответ: 0.8 секунд