Высота предмета равна 5 см. Линза дает на экране изображение высотой 15 см. Предмет передвинули на 1,5 см от линзы и, передвинув экран на некоторое расстояние, снова получили четкое изображение высотой 10 см. Найти фокусное расстояние линзы.

Пусть $$h_1$$ и $$H_1$$ высоты предмета и изображения в первом случае, а $$h_2$$ и $$H_2$$ - во втором. Расстояние от предмета до линзы в первом случае равно $$d_1$$, а во втором - $$d_2 = d_1 + 1.5 \text{ см}$$. Расстояние от линзы до экрана в первом и втором случаях равно соответственно $$f_1$$ и $$f_2$$.

Используем формулу увеличения линзы: $$Г = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$$, где $$Г$$ - увеличение, $$H$$ - высота изображения, $$h$$ - высота предмета, $$f$$ - расстояние от линзы до изображения, $$d$$ - расстояние от предмета до линзы.

В первом случае:

$$ \frac{15}{5} = \frac{f_1}{d_1} \Rightarrow 3 = \frac{f_1}{d_1} \Rightarrow f_1 = 3d_1 $$

Во втором случае:

$$ \frac{10}{5} = \frac{f_2}{d_2} \Rightarrow 2 = \frac{f_2}{d_1 + 1.5} \Rightarrow f_2 = 2(d_1 + 1.5) $$

Также у нас есть формула тонкой линзы: $$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $$, где $$F$$ - фокусное расстояние линзы.

В первом случае:

$$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{3d_1} = \frac{3+1}{3d_1} = \frac{4}{3d_1} \Rightarrow F = \frac{3d_1}{4} $$

Во втором случае:

$$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d_1 + 1.5} + \frac{1}{2(d_1 + 1.5)} = \frac{2+1}{2(d_1 + 1.5)} = \frac{3}{2(d_1 + 1.5)} \Rightarrow F = \frac{2(d_1 + 1.5)}{3} $$

Приравниваем выражения для фокусного расстояния:

$$ \frac{3d_1}{4} = \frac{2(d_1 + 1.5)}{3} $$ $$ 9d_1 = 8(d_1 + 1.5) = 8d_1 + 12 $$ $$ d_1 = 12 \text{ см} $$

Теперь найдем фокусное расстояние:

$$ F = \frac{3 \cdot 12}{4} = 9 \text{ см} $$

Ответ: 9 см