Высота, проведённая к боковой стороне тупоугольного равнобедренного треугольника, образует с боковой стороной угол 22°. Найдите углы треугольника.

Пусть дан тупоугольный равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Высота, проведённая из вершины B к боковой стороне AC, образует угол 22° с этой стороной. Пусть BH — высота, проведённая к AC.

1. Рассмотрим треугольник ABH. Угол ABH = 22°. Так как BH — высота, угол AHB = 90°. Следовательно, угол BAH (угол A) равен:

$$90° - 22° = 68°$$

2. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), углы при основании (углы A и C) равны. Значит, угол C = углу A = 68°.

3. Теперь найдём угол B. Сумма углов треугольника равна 180°.

$$Угол\ B = 180° - (Угол\ A + Угол\ C) = 180° - (68° + 68°) = 180° - 136° = 44°$$

Но в условии сказано, что треугольник тупоугольный. Значит, высота проведена не из вершины B, а из вершины A (или C) к стороне BC (или AB). Пусть высота AD проведена к стороне BC и угол DAC = 22°.

1. Рассмотрим треугольник ADC. Угол ADC = 90°. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), то угол BAC = углу BCA. Обозначим угол BAC = x.

2. Тогда угол DAC = угол BAC - угол BAD = x - 22°.

3. В треугольнике ADC: угол DAC + угол ACD + угол ADC = 180°. Учитывая, что угол ADC = 90° и угол DAC = 22°, получаем:

$$22° + x + 90° = 180°$$ $$x = 180° - 90° - 22° = 68°$$

Таким образом, угол BCA = x = 68°.

4. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, угол BAC = углу BCA = 68°.

5. Тогда угол ABC = 180° - (угол BAC + угол BCA) = 180° - (68° + 68°) = 180° - 136° = 44°.

Это не тупоугольный треугольник. Значит высота проведена из вершины A к продолжению стороны BC за точку C. При этом угол между высотой и стороной AB равен 22 градуса.

Пусть угол между AB и высотой AD равен 22 градуса, тогда угол BAD = 22 градуса. Угол ADB = 90 градусов, т.к. AD - высота. Тогда угол ABD = 180 - (90+22) = 68 градусов. Т.к. треугольник равнобедренный, то угол ACB = углу BAC = (180-68)/2 = 112/2 = 56 градусов.

Ответ: Углы треугольника: 68°, 68°, 44° или 56°, 56°, 68°.