164. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 8 см и 24 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Высота, проведённая из вершины C к гипотенузе AB, делит гипотенузу на отрезки AH = 8 см и HB = 24 см. Пусть катеты AC = b и BC = a. Сначала найдем гипотенузу AB: \[AB = AH + HB = 8 + 24 = 32\] Теперь воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника: 1. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Тогда: \[AC^2 = AH \cdot AB\] \[b^2 = 8 \cdot 32 = 256\] \[b = \sqrt{256} = 16\] и \[BC^2 = BH \cdot AB\] \[a^2 = 24 \cdot 32 = 768\] \[a = \sqrt{768} = \sqrt{256 \cdot 3} = 16\sqrt{3}\] Ответ: Катеты треугольника равны 16 см и $$16\sqrt{3}$$ см.