Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 11. Найдите длину основания ВС.

Пусть $$h$$ - высота трапеции, $$BC = x$$. Основание $$AD = 11$$. Отрезки, на которые высота делит основание $$AD$$, равны 1 и 11. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки, прилежащие к боковым сторонам, равны $$(AD - BC)/2$$. Однако, в данном случае, высота опущена из вершины С, и она делит основание AD на отрезки 1 и 11. Это означает, что $$AD = 11$$. Если $$h$$ - высота, опущенная из С на AD, то точка пересечения делит AD на отрезки $$x$$ и $$y$$, где $$x+y=11$$. В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из С на AD, то отрезок, прилежащий к основанию CD, будет равен $$(AD-BC)/2$$. Если предположить, что отрезок длиной 1 прилегает к основанию CD, то $$1 = (11-BC)/2$$, откуда $$2 = 11-BC$$, $$BC = 9$$. Если отрезок длиной 11 прилегает к основанию CD, то $$11 = (11-BC)/2$$, что невозможно, так как $$BC$$ должно быть положительным. Следовательно, отрезок длиной 1 прилегает к основанию CD.

Пусть $$h$$ - высота, опущенная из C на AD. Тогда $$AD = 11$$. Отрезки, на которые высота делит основание $$AD$$, равны 1 и 11. Так как трапеция равнобедренная, то $$AB = CD$$. Опустим высоту из C на AD, пусть она пересекает AD в точке E. Тогда $$AE = (AD - BC)/2$$ и $$ED = (AD + BC)/2$$ или $$AE = (AD + BC)/2$$ и $$ED = (AD - BC)/2$$. В данном случае, высота из C делит AD на отрезки 1 и 11. Это означает, что точка E находится на AD. Если E находится между A и D, то $$AE + ED = AD$$. Если предположить, что $$AE=1$$ и $$ED=11$$, то $$AD=12$$, что противоречит условию $$AD=11$$. Если предположить, что $$BC$$ является меньшим основанием, и высота из C делит $$AD$$ на отрезки $$x$$ и $$y$$, где $$x+y=11$$. В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из C на AD, то отрезок, прилежащий к основанию CD, будет равен $$(AD-BC)/2$$. Если предположить, что отрезок длиной 1 прилегает к основанию CD, то $$1 = (11-BC)/2$$, откуда $$2 = 11-BC$$, $$BC = 9$$.

Ответ: 9