2. Высота равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, а высота, проведенная к любой стороне, является и медианой, и биссектрисой.

Пусть $$a$$ - сторона равностороннего треугольника, а $$h$$ - его высота. Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника, в которых гипотенуза равна стороне равностороннего треугольника $$a$$, один из катетов равен половине стороны равностороннего треугольника $$\frac{a}{2}$$, а другой катет является высотой $$h$$.

По теореме Пифагора:

$$a^2 = (\frac{a}{2})^2 + h^2$$

$$a^2 = \frac{a^2}{4} + h^2$$

$$a^2 - \frac{a^2}{4} = h^2$$

$$\frac{3a^2}{4} = h^2$$

$$a^2 = \frac{4h^2}{3}$$

$$a = \sqrt{\frac{4h^2}{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$$

Из условия задачи $$h = 12\sqrt{3}$$. Подставим это значение в формулу для стороны $$a$$:

$$a = \frac{2 \cdot 12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 12 = 24$$

Ответ: 24