18. Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол BMC равен 140°

1. Обозначим углы треугольника: \(\angle BAC = \alpha\), \(\angle ABC = \angle ACB = \beta\).
2. Так как треугольник ABC равнобедренный, то \(2\beta + \alpha = 180^\circ\).
3. Высоты, проведенные к боковым сторонам, образуют прямоугольные треугольники.
4. Рассмотрим четырехугольник AMKC, где K - основание высоты, проведенной из B, а L - основание высоты, проведенной из C. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. \(\angle AKM = \angle ALM = 90^\circ\), поэтому \(\angle BAC + \angle KML = 180^\circ\).
5. Угол BMC является смежным с углом KML, следовательно, \(\angle KML = 180^\circ - \angle BMC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\).
6. Тогда \(\angle BAC = \alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\). Однако, по условию треугольник ABC остроугольный, значит такой случай невозможен.
7. Предположим, что точка M лежит вне треугольника ABC. Тогда, \(\angle BMC = 140^\circ\) является внешним углом треугольника ABC.
8. \(\angle BAC = 180^\circ - \angle KML = 180^\circ - (360^\circ - 140^\circ) = \alpha\). Сумма углов четырехугольника AKML: \(\angle A + \angle AKM + \angle A LM + \angle KML = 360^\circ\); \(\angle A = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\).
9. Так как \(2\beta + \alpha = 180^\circ\), то \(2\beta = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\), следовательно, \(\beta = 70^\circ\).

Ответ: \(\angle BAC = 40^\circ\), \(\angle ABC = \angle ACB = 70^\circ\)