5. Выведите формулу для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

Для вывода формулы первой космической скорости (v₁) спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли, воспользуемся следующими рассуждениями:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы тяжести, которая обеспечивает центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона для спутника:

$$F = ma$$

где F - сила тяжести, m - масса спутника, a - центростремительное ускорение.

Сила тяжести, действующая на спутник вблизи поверхности Земли:

$$F = G \frac{Mm}{R^2}$$

где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, R - радиус Земли.

Центростремительное ускорение:

$$a = \frac{v_1^2}{R}$$

Подставляем выражения для силы тяжести и центростремительного ускорения во второй закон Ньютона:

$$G \frac{Mm}{R^2} = m \frac{v_1^2}{R}$$

Сокращаем массу спутника m и радиус R:

$$G \frac{M}{R} = v_1^2$$

Выражаем первую космическую скорость v₁:

$$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}}$$

Учитывая, что ускорение свободного падения g = G * M / R², формула для первой космической скорости может быть записана как:

$$v_1 = \sqrt{gR}$$

Ответ: $$v_1 = \sqrt{gR}$$