Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или не является ни чётной, ни нечётной (1-8). 1. $$y = \frac{x}{3} + \frac{x^3}{4}$$. 2. $$y = \frac{x^3}{1 + x^2}$$. 3. $$y = x^2 - x^4 + 1$$. 4. $$y = \sin x \cdot x^3$$. 5. $$y = x - \sin x$$. 6. $$y = \frac{1}{1 - \sqrt{2} \sin x}$$. 7. $$y = \frac{x^3}{1 - \cos x}$$. 8. $$y = 1 - \cos x + \sin x$$. 9. Чётная функция $$y = f(x)$$ определена на всей числовой прямой. Достроить график этой функции, если его часть при $$x \ge 0$$ изображена на рисунке 18. 10. Достроить график нечётной функции, определённой на всей числовой прямой (рис. 19).

Разберем каждую функцию и определим её четность/нечетность: 1. $$y = \frac{x}{3} + \frac{x^3}{4}$$: Функция нечетная, так как $$y(-x) = \frac{-x}{3} + \frac{(-x)^3}{4} = -\frac{x}{3} - \frac{x^3}{4} = -(\frac{x}{3} + \frac{x^3}{4}) = -y(x)$$. 2. $$y = \frac{x^3}{1 + x^2}$$: Функция нечетная, так как $$y(-x) = \frac{(-x)^3}{1 + (-x)^2} = \frac{-x^3}{1 + x^2} = -\frac{x^3}{1 + x^2} = -y(x)$$. 3. $$y = x^2 - x^4 + 1$$: Функция четная, так как $$y(-x) = (-x)^2 - (-x)^4 + 1 = x^2 - x^4 + 1 = y(x)$$. 4. $$y = \sin x \cdot x^3$$: Функция четная, так как $$y(-x) = \sin(-x) \cdot (-x)^3 = (-\sin x) \cdot (-x^3) = \sin x \cdot x^3 = y(x)$$. 5. $$y = x - \sin x$$: Функция нечетная, так как $$y(-x) = -x - \sin(-x) = -x - (-\sin x) = -x + \sin x = -(x - \sin x) = -y(x)$$. 6. $$y = \frac{1}{1 - \sqrt{2} \sin x}$$: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как $$y(-x) = \frac{1}{1 - \sqrt{2} \sin(-x)} = \frac{1}{1 + \sqrt{2} \sin x}$$. Это выражение не равно ни $$y(x)$$, ни $$-y(x)$$. 7. $$y = \frac{x^3}{1 - \cos x}$$: Функция нечетная, так как $$y(-x) = \frac{(-x)^3}{1 - \cos(-x)} = \frac{-x^3}{1 - \cos x} = -\frac{x^3}{1 - \cos x} = -y(x)$$. 8. $$y = 1 - \cos x + \sin x$$: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как $$y(-x) = 1 - \cos(-x) + \sin(-x) = 1 - \cos x - \sin x$$. Это выражение не равно ни $$y(x)$$, ни $$-y(x)$$. 9. Чтобы достроить график четной функции, нужно отразить часть графика, данную при $$x \ge 0$$, относительно оси $$y$$. 10. Чтобы достроить график нечетной функции, нужно отразить часть графика, данную при $$x \ge 0$$, сначала относительно оси $$y$$, а затем относительно оси $$x$$ (или наоборот). Для 9 и 10 заданий нужно использовать рисунки 18 и 19 соответственно. К сожалению, я не могу нарисовать графики здесь, но процесс описан выше.