739. Выясните, при каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения x² - ax + a - 3 = 0 принимает наименьшее значение, и найдите это значение.

Для решения этой задачи, сначала вспомним теорему Виета.

Для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0, если x₁ и x₂ - корни, то:

x₁ + x₂ = -b/a

x₁x₂ = c/a

В нашем случае:

x² - ax + a - 3 = 0

x₁ + x₂ = a

x₁x₂ = a - 3

Нам нужно найти наименьшее значение суммы квадратов корней:

S = x₁² + x₂²

Выразим S через известные нам соотношения:

S = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = a² - 2(a - 3) = a² - 2a + 6

Теперь у нас есть квадратичная функция относительно a: S(a) = a² - 2a + 6.

Чтобы найти минимум этой функции, найдем вершину параболы.

Координата a вершины параболы равна: a_верш = -b / 2a = -(-2) / 2 = 1

Теперь найдем значение S при a = 1:

S(1) = 1² - 2(1) + 6 = 1 - 2 + 6 = 5

Таким образом, наименьшее значение суммы квадратов корней равно 5, и это достигается при a = 1.

Ответ: a = 1, наименьшее значение суммы квадратов корней = 5

Чтобы найти наименьшее значение суммы квадратов корней, нужно выразить эту сумму через параметр a, а затем найти минимум квадратичной функции, используя теорему Виета.

База Теорема Виета - мощный инструмент для решения задач, связанных с корнями квадратных уравнений. Умение выражать сумму и произведение корней через коэффициенты уравнения значительно упрощает многие задачи.