x² + y² = 25, 4x² - y + 4 = 0

Решим систему уравнений графическим способом: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ 4x^2 - y + 4 = 0 \end{cases} \) Первое уравнение представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Второе уравнение можно переписать как \( y = 4x^2 + 4 \), что является параболой. Чтобы найти количество решений, нужно определить, сколько раз парабола пересекает окружность. * Краткое пояснение: Чтобы определить количество решений системы уравнений, нужно найти количество точек пересечения графиков, соответствующих уравнениям системы. Построим графики этих уравнений и посмотрим на точки пересечения. Окружность: \( x^2 + y^2 = 25 \) Парабола: \( y = 4x^2 + 4 \) Подставим уравнение параболы в уравнение окружности: \( x^2 + (4x^2 + 4)^2 = 25 \) \( x^2 + 16x^4 + 32x^2 + 16 = 25 \) \( 16x^4 + 33x^2 - 9 = 0 \) Пусть \( z = x^2 \), тогда уравнение принимает вид: \( 16z^2 + 33z - 9 = 0 \) Решим квадратное уравнение относительно z: \( D = 33^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-9) = 1089 + 576 = 1665 \) \( z_1 = \frac{-33 + \sqrt{1665}}{32} \approx \frac{-33 + 40.8}{32} \approx 0.244 \) \( z_2 = \frac{-33 - \sqrt{1665}}{32} \approx \frac{-33 - 40.8}{32} \approx -2.306 \) Так как \( z = x^2 \), то \( x^2 \) не может быть отрицательным, поэтому \( z_2 \) не подходит. Таким образом, \( x^2 = 0.244 \), и \( x = \pm \sqrt{0.244} \approx \pm 0.494 \) Теперь найдем соответствующие значения y: \( y = 4x^2 + 4 = 4 \cdot 0.244 + 4 = 0.976 + 4 = 4.976 \) Таким образом, мы имеем два значения x и два соответствующих значения y, что означает две точки пересечения. * Ответ: 2

Проверка за 10 секунд: Уравнение окружности и параболы пересекаются в двух точках.

Доп. профит: Визуализация графиков уравнений помогает понять количество решений.