5(x + 1) 1 = + 3) 5x+2 (5x + 1)(5x + 2) 5x+1';

Для решения данного уравнения необходимо сначала упростить выражение, а затем решить полученное уравнение.

1) $$ \frac{5(x+1)}{5x+2} + \frac{1}{(5x+1)(5x+2)} = \frac{1}{5x+1} $$

2) Приведем дроби к общему знаменателю (5x+1)(5x+2):

$$ \frac{5(x+1)(5x+1)}{(5x+2)(5x+1)} + \frac{1}{(5x+1)(5x+2)} = \frac{5x+2}{(5x+1)(5x+2)} $$

3) Складываем дроби:

$$ \frac{5(x+1)(5x+1) + 1}{(5x+1)(5x+2)} = \frac{5x+2}{(5x+1)(5x+2)} $$

4) Умножаем обе части на (5x+1)(5x+2), предполагая, что $$ (5x+1)(5x+2)
eq 0 $$

$$ 5(x+1)(5x+1) + 1 = 5x+2 $$

5) Раскрываем скобки:

$$ 5(5x^2 + x + 5x + 1) + 1 = 5x+2 $$

$$ 5(5x^2 + 6x + 1) + 1 = 5x+2 $$

$$ 25x^2 + 30x + 5 + 1 = 5x+2 $$

$$ 25x^2 + 30x + 6 = 5x+2 $$

6) Переносим все в левую часть:

$$ 25x^2 + 30x - 5x + 6 - 2 = 0 $$

$$ 25x^2 + 25x + 4 = 0 $$

7) Решаем квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4(25)(4) = 625 - 400 = 225$$

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 \pm \sqrt{225}}{2(25)} = \frac{-25 \pm 15}{50}$$

$$x_1 = \frac{-25 + 15}{50} = \frac{-10}{50} = -\frac{1}{5}$$

$$x_2 = \frac{-25 - 15}{50} = \frac{-40}{50} = -\frac{4}{5}$$

Проверяем условия $$ (5x+1)
eq 0 $$ и $$ (5x+2)
eq 0 $$

Для $$ x = -\frac{1}{5} $$: $$ 5(-\frac{1}{5})+1 = -1+1 = 0 $$ (не подходит)

Для $$ x = -\frac{4}{5} $$: $$ 5(-\frac{4}{5})+1 = -4+1 = -3
eq 0 $$ и $$ 5(-\frac{4}{5})+2 = -4+2 = -2
eq 0 $$ (подходит)

Следовательно, x = -1/5 не является решением.

Ответ: $$ x = -\frac{4}{5} $$