Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика2) (x+1)(x+2)(x+3) ≤ 0; (2x-1)(x+4)(3-x)
Ответ:
Решим неравенство методом интервалов:
1) Найдем корни уравнения $$\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(2x-1)(x+4)(3-x)} = 0$$:
$$x+1=0 \Rightarrow x = -1;$$
$$x+2=0 \Rightarrow x = -2;$$
$$x+3=0 \Rightarrow x = -3.$$
2) Найдем значения $$x$$, при которых знаменатель равен нулю:
$$2x-1=0 \Rightarrow x = \frac{1}{2};$$
$$x+4=0 \Rightarrow x = -4;$$
$$3-x=0 \Rightarrow x = 3.$$
3) Отметим найденные значения на числовой прямой. Значения, при которых числитель равен нулю, будут закрашенными, так как неравенство нестрогое. Значения, при которых знаменатель равен нулю, будут выколотыми, так как на ноль делить нельзя:
-------------------(-4)-------------------(-3]-------------------(-2]-------------------(-1]-------------------(1/2)-------------------(3)-------------------
4) Определим знаки на каждом интервале. Для этого возьмем значение из каждого интервала и подставим в исходное неравенство:
- $$x < -4$$, возьмем $$x=-5$$: $$\frac{(-5+1)(-5+2)(-5+3)}{(2(-5)-1)(-5+4)(3-(-5))} = \frac{(-4)(-3)(-2)}{(-11)(-1)(8)} < 0$$ (знак минус);
- $$-4 < x < -3$$, возьмем $$x=-3.5$$: $$\frac{(-3.5+1)(-3.5+2)(-3.5+3)}{(2(-3.5)-1)(-3.5+4)(3-(-3.5))} = \frac{(-2.5)(-1.5)(-0.5)}{(-8)(0.5)(6.5)} > 0$$ (знак плюс);
- $$-3 < x < -2$$, возьмем $$x=-2.5$$: $$\frac{(-2.5+1)(-2.5+2)(-2.5+3)}{(2(-2.5)-1)(-2.5+4)(3-(-2.5))} = \frac{(-1.5)(-0.5)(0.5)}{(-6)(1.5)(5.5)} < 0$$ (знак минус);
- $$-2 < x < -1$$, возьмем $$x=-1.5$$: $$\frac{(-1.5+1)(-1.5+2)(-1.5+3)}{(2(-1.5)-1)(-1.5+4)(3-(-1.5))} = \frac{(-0.5)(0.5)(1.5)}{(-4)(2.5)(4.5)} > 0$$ (знак плюс);
- $$-1 < x < \frac{1}{2}$$, возьмем $$x=0$$: $$\frac{(0+1)(0+2)(0+3)}{(2(0)-1)(0+4)(3-(0))} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{(-1)(4)(3)} < 0$$ (знак минус);
- $$\frac{1}{2} < x < 3$$, возьмем $$x=1$$: $$\frac{(1+1)(1+2)(1+3)}{(2(1)-1)(1+4)(3-(1))} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{(1)(5)(2)} > 0$$ (знак плюс);
- $$x > 3$$, возьмем $$x=4$$: $$\frac{(4+1)(4+2)(4+3)}{(2(4)-1)(4+4)(3-(4))} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{(7)(8)(-1)} < 0$$ (знак минус).
5) Выберем интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак минус):
$$x \in (-\infty; -4) \cup [-3; -2] \cup [-1; \frac{1}{2}) \cup (3; +\infty).$$
Ответ: $$x \in (-\infty; -4) \cup [-3; -2] \cup [-1; \frac{1}{2}) \cup (3; +\infty)$$
Похожие
