8. y = x ⋅ sin(x)

8. Дано: $$y = x \cdot \sin(x)$$. Найти производную $$y'$$.

Решение:

1. Производная произведения: $$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$.
2. Производная синуса: $$(\sin(x))' = \cos(x)$$.

Находим производную:

$$y' = (x \cdot \sin(x))' = (x)' \sin(x) + x (\sin(x))' = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) = \sin(x) + x \cos(x)$$

Ответ: $$y' = \sin(x) + x \cos(x)$$