Я с сильным (не)терпением следил за всеми признаками, доказывавшими близость обеда.

Я с сильным нетерпением следил за всеми признаками, доказывавшими близость обеда. **Объяснение:** В данном случае, "нетерпением" пишется слитно, так как это существительное, и его можно заменить синонимом без "не", например, "торопливостью".