15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца нужно внести один платёж для погашения долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что восьмой платёж равен 74,4 тыс. рублей. Найдите сумму всех платежей, которые будут выплачены банку в течение всего срока кредитования.

Пусть сумма кредита равна S, а ежемесячное уменьшение долга составляет S/15. Процентная ставка равна 3% или 0.03 в долях.

Обозначим через d = S/15. Тогда долг на 15-е число каждого месяца будет следующим:

• 1-й месяц: S
• 2-й месяц: S - d
• 3-й месяц: S - 2d
• ...
• 15-й месяц: S - 14d

На 1-е число каждого месяца долг увеличивается на 3%, то есть умножается на 1.03.

Пусть P_i - это i-й платеж. Тогда:

P_i = (S - (i-1)d) * 1.03 - (S - id), где i - номер месяца.

Восьмой платёж равен 74.4 тыс. рублей. Тогда:

P₈ = (S - 7d) * 1.03 - (S - 8d) = 74.4

Раскроем скобки и упростим:

1. 03S - 7.21d - S + 8d = 74.4

2. 03S + 0.79d = 74.4

Заменим d на S/15:

3. 03S + 0.79 * (S/15) = 74.4

4. 03S + 0.052667S = 74.4

5. 082667S = 74.4

$$S = \frac{74.4}{0.082667} = 900$$

Следовательно, S = 900 тыс. рублей.

Найдем общую сумму выплат. Общая сумма выплат равна сумме всех платежей:

$$\sum_{i=1}^{15} P_i = \sum_{i=1}^{15} ((S - (i-1)d) * 1.03 - (S - id))$$

$$= \sum_{i=1}^{15} (1.03S - 1.03(i-1)d - S + id)$$

$$= \sum_{i=1}^{15} (0.03S + (1 - 1.03(i-1))d)$$

$$= \sum_{i=1}^{15} (0.03S + (1.03 - 1.03i)d)$$

$$= 15 * 0.03S + \sum_{i=1}^{15} (1.03 + 0.03i)d$$

$$= 0.45S + d \sum_{i=1}^{15} 1.03 - 0.03(i-1)$$

Сумма арифметической прогрессии $$\sum_{i=1}^{15} i = \frac{15 * (1 + 15)}{2} = 15 * 8 = 120$$

$$\sum_{i=1}^{15} 1 = 15$$

$$\sum_{i=1}^{15} (1.03 - 0.03(i-1)) = 1.03*15 - 0.03*\frac{15 * 14}{2} = 15 * 1.03 - 0.03 * 15 * 7 = 15.45 - 3.15 = 12.3$$

$$\sum_{i=1}^{15} P_i = 0.45S + 12.3d = 0.45S + 12.3 * \frac{S}{15} = 0.45S + 0.82S = 1.27S$$

Подставим S = 900:

$$1.27 * 900 = 1143$$

Ответ: 1143