Ящики с грузом постоянной массы поднимают по наклонной плоскости с помощью лебедки и легкого нерастяжимого троса. Высота плоскости по вертикали h = 5 м, ее горизонтальная проекция d = 12 м. Изначально у плоскости было такое покрытие, что коэффициент трения ящика о плоскость равнялся ₁ = 0,45. Найдите отношение величины силы натяжения троса к величине силы тяжести, действующей на ящик, при движении ящика с постоянной скоростью Ѵ1 = 1,2 м/с. Ответ запишите с точностью до десятых.

Рассмотрим силы, действующие на ящик при равномерном движении вверх по наклонной плоскости:

• Сила тяжести: $$mg$$, где $$m$$ - масса ящика, $$g$$ - ускорение свободного падения.
• Сила реакции опоры: $$N$$
• Сила трения: $$F_{тр} = \mu_1 N$$, где $$\mu_1$$ - коэффициент трения.
• Сила натяжения троса: $$T$$

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси, параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости:

• Ось, параллельная плоскости: $$T - mg\sin(\alpha) - F_{тр} = 0$$
• Ось, перпендикулярная плоскости: $$N - mg\cos(\alpha) = 0$$, откуда $$N = mg\cos(\alpha)$$

Тогда $$F_{тр} = \mu_1 mg\cos(\alpha)$$. Подставим в первое уравнение:

$$T - mg\sin(\alpha) - \mu_1 mg\cos(\alpha) = 0$$

$$T = mg(\sin(\alpha) + \mu_1 \cos(\alpha))$$

Отношение силы натяжения троса к силе тяжести:

$$\frac{T}{mg} = \sin(\alpha) + \mu_1 \cos(\alpha)$$

Найдем $$\sin(\alpha)$$ и $$\cos(\alpha)$$, используя высоту $$h = 5 \text{ м}$$ и горизонтальную проекцию $$d = 12 \text{ м}$$:

$$\sin(\alpha) = \frac{h}{\sqrt{h^2 + d^2}} = \frac{5}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{5}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{5}{\sqrt{169}} = \frac{5}{13}$$

$$\cos(\alpha) = \frac{d}{\sqrt{h^2 + d^2}} = \frac{12}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{12}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{12}{\sqrt{169}} = \frac{12}{13}$$

Тогда:

$$\frac{T}{mg} = \frac{5}{13} + 0.45 \cdot \frac{12}{13} = \frac{5}{13} + \frac{0.45 \cdot 12}{13} = \frac{5}{13} + \frac{5.4}{13} = \frac{5 + 5.4}{13} = \frac{10.4}{13} = 0.8$$

Ответ: 0.8