Решение задачи 410:

Чтобы четырёхугольник был квадратом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись определённые условия для его диагоналей.

Рассмотрим каждый случай:

а) Диагонали равны и взаимно перпендикулярны.

Этого недостаточно, чтобы четырёхугольник был квадратом. Например, четырёхугольник с равными и взаимно перпендикулярными диагоналями может быть ромбом, если диагонали не делятся пополам в точке пересечения.

б) Диагонали взаимно перпендикулярны и имеют общую середину.

Этого тоже недостаточно. Такой четырёхугольник будет ромбом, но не обязательно квадратом (нужно, чтобы диагонали были равны).

в) Диагонали равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину.

Это достаточное условие для того, чтобы четырёхугольник был квадратом. Если диагонали равны и делятся пополам в точке пересечения, то это прямоугольник. Если они ещё и взаимно перпендикулярны, то это квадрат.

Ответ: Четырёхугольник является квадратом только в случае, когда его диагонали равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину (случай в).