Слово "дорогой" и "дороги" являются однокоренными, так как имеют общий корень "-дорог-" и связаны по смыслу.
Однокоренные слова к слову "дороги": дорожка, дорожный, подорожник, бездорожье.
Однокоренные слова к слову "дорогой": дороговизна, дорого, дорогой.