Зачет №4. Сумма углов треугольника. Прямоугольный треугольник. Обязательная часть. 1. Чему равны углы треугольников, на которые высота разбивает равносторонний треугольник? 2. Треугольник DOC - прямоугольный, угол D на 30° больше угла C. Найдите эти углы. 3. Докажите, что △ABC = △BAD, если углы C и D - прямые и AD = BC. 4. Дан отрезок AB. Постройте равнобедренный треугольник, боковые стороны которого 2 AB, а основание равно AB. Дополнительная часть. 5. В треугольнике МОК угол О равен 76°, а угол М в 3 раза меньше внешнего угла при вершине К. Найдите неизвестные углы треугольника. Зачет № 5. Четырехугольники. Обязательная часть. 1. МАРК - параллелограмм. Докажите, что △ MNK = △ PKN. 2. CDEF - квадрат. Чему равны углы треугольника DOC? 3. ABCD - прямоугольник, диагональ BD равна 12. Найдите длины отрезков АМ и МС.

Давайте решим задачи шаг за шагом. Зачет №4 1. Чему равны углы треугольников, на которые высота разбивает равносторонний треугольник? В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Высота, проведенная из вершины, является также медианой и биссектрисой. Она делит равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника. Углы каждого из этих прямоугольных треугольников будут: 90° (прямой угол), 60° (угол равностороннего треугольника) и 30° (половина угла равностороннего треугольника, так как высота является биссектрисой). 2. Треугольник DOC - прямоугольный, угол D на 30° больше угла C. Найдите эти углы. Поскольку треугольник DOC прямоугольный, один из его углов равен 90°. Пусть угол C равен x. Тогда угол D равен x + 30°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому: $$x + (x + 30) + 90 = 180$$ $$2x + 120 = 180$$ $$2x = 60$$ $$x = 30$$ Таким образом, угол C равен 30°, а угол D равен 30° + 30° = 60°. Ответ: Угол C = 30°, угол D = 60° 3. Докажите, что △ABC = △BAD, если углы C и D - прямые и AD = BC. Рассмотрим треугольники ABC и BAD. У них: * AD = BC (по условию) * AB - общая сторона * ∠C = ∠D = 90° (по условию) Следовательно, треугольники ABC и BAD равны по гипотенузе и катету (прямоугольные треугольники). 4. Дан отрезок AB. Постройте равнобедренный треугольник, боковые стороны которого 2 AB, а основание равно AB. Построение: 1. Отложите отрезок AB. 2. Постройте окружность с центром в точке A и радиусом 2AB. 3. Постройте окружность с центром в точке B и радиусом 2AB. 4. Точка пересечения этих окружностей (C) будет вершиной равнобедренного треугольника ABC, где AC = BC = 2AB и AB - основание. Дополнительная часть 5. В треугольнике МОК угол О равен 76°, а угол М в 3 раза меньше внешнего угла при вершине К. Найдите неизвестные углы треугольника. Пусть угол M = x. Тогда внешний угол при вершине K равен 3x. Внешний угол при вершине K равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним: $$3x = ∠MOK + ∠OMK$$ $$3x = 76 + x$$ $$2x = 76$$ $$x = 38$$ Значит, угол M = 38°. Теперь найдем угол K: Сумма углов в треугольнике равна 180°: $$∠MOK + ∠OMK + ∠MKO = 180$$ $$76 + 38 + ∠MKO = 180$$ $$114 + ∠MKO = 180$$ $$∠MKO = 180 - 114 = 66$$ Ответ: Угол M = 38°, угол K = 66° Зачет № 5 1. МАРК - параллелограмм. Докажите, что △ MNK = △ PKN. Не хватает информации, чтобы решить данную задачу. Нужны дополнительные условия или рисунок, чтобы определить положение точек N. 2. CDEF - квадрат. Чему равны углы треугольника DOC? В квадрате все углы прямые (90°), и диагонали являются биссектрисами углов. Значит, ∠CDO = ∠DCO = 45°. Точка O - точка пересечения диагоналей. Тогда треугольник DOC равнобедренный и прямоугольный. ∠DOC = 90° ∠CDO = 45° ∠DCO = 45° Ответ: Угол DCO = 45°, угол CDO = 45°, угол DOC = 90° 3. ABCD - прямоугольник, диагональ BD равна 12. Найдите длины отрезков АМ и МС. Не хватает информации, чтобы решить данную задачу. Нужно знать, как расположена точка M. Если M - точка пересечения диагоналей, то AM = MC = BD / 2 = 6.