Задача № 3 (16 баллов) На заводе, выпускающем винтики и шпунтики, работают два цеха. Производственные мощности цеха М № 1 позволяют выпустить в год 50 тыс. винтиков или 20 тыс. шпунтиков; мощности цеха № 2 10 тыс. винтиков или 20 тыс. шпунтиков. Определить: 1. Построить кривые производственных возможностей (КПВ) первого и второго цеха, а также КПВ завода. 2. Если на завод поступил заказ на изготовление 10 тыс. шпунтиков:

Для решения данной задачи необходимо построить кривые производственных возможностей (КПВ) для каждого цеха и для завода в целом, а также определить возможности производства винтиков при заданном заказе на шпунтики.

1. Построение КПВ:

Цех № 1:

Производственные мощности: 50 тыс. винтиков или 20 тыс. шпунтиков.

КПВ для цеха № 1 представляет собой отрезок прямой линии между точками (50, 0) и (0, 20) в координатах (винтики, шпунтики). Уравнение КПВ: $$20x + 50y = 1000$$, где x – тыс. винтиков, y – тыс. шпунтиков.

Цех № 2:

Производственные мощности: 10 тыс. винтиков или 20 тыс. шпунтиков.

КПВ для цеха № 2 представляет собой отрезок прямой линии между точками (10, 0) и (0, 20) в координатах (винтики, шпунтики). Уравнение КПВ: $$20x + 10y = 200$$, где x – тыс. винтиков, y – тыс. шпунтиков.

КПВ завода:

Чтобы построить КПВ для завода, нужно сложить производственные возможности цехов. Завод может производить:

• 60 тыс. винтиков (50 тыс. из цеха № 1 и 10 тыс. из цеха № 2), если не производит шпунтики.
• 40 тыс. шпунтиков (20 тыс. из цеха № 1 и 20 тыс. из цеха № 2), если не производит винтики.

КПВ завода состоит из двух участков:

• от (0, 40) до (10, 20): работает только цех №2, производя шпунтики и переключается на производство винтиков, сокращая выпуск шпунтиков. Уравнение КПВ: $$20x + 10y = 200$$
• от (10, 20) до (60, 0): работает цех №1 и №2, производя винтики, и переключается на производство шпунтиков, сокращая выпуск шпунтиков. Уравнение КПВ: $$20x + 50y = 1000$$

2. Производство винтиков при заказе 10 тыс. шпунтиков:

Если завод должен произвести 10 тыс. шпунтиков, нужно распределить производство между цехами.

Оптимально, чтобы цех № 2 полностью выполнил заказ на шпунтики, так как его альтернативные издержки ниже. Цех № 2 производит 10 тыс. шпунтиков, а цех № 1 ничего не производит. Поскольку цех № 2 может произвести максимум 20 тыс. шпунтиков, то он загружен на 50%.

Цех №2 может произвести 10 тыс. винтиков или 20 тыс. шпунтиков. Если он произвел 10 тыс. шпунтиков, то оставшиеся мощности можно использовать для производства винтиков. 10 тыс. винтиков = 20 тыс. шпунтиков, то 5 тыс. винтиков = 10 тыс. шпунтиков.

Таким образом, цех № 2 может произвести 5 тыс. винтиков.

Цех № 1 производит 50 тыс. винтиков или 20 тыс. шпунтиков.

Итого: завод может произвести 50 тыс. винтиков (цех №1) + 5 тыс. винтиков (цех №2) = 55 тыс. винтиков.