Задача 4. (6 баллов) AF - медиана треугольника ABC, D - середина отрезка AF, E - точка пересечения прямой CD со стороной AB. Оказалось, что BD = BF. Докажите, что AE = DE.

Доказательство: 1. Обозначения и предварительные замечания: Пусть F – середина стороны BC. Так как AF – медиана треугольника ABC, то BF = FC. 2. Рассмотрим треугольник AFC: Так как D – середина AF, то FD – медиана треугольника AFC. Пусть E' – точка пересечения прямой CD со стороной AC. 3. Применим теорему Менелая к треугольнику ABF и прямой CD: Согласно теореме Менелая, для треугольника ABF и прямой CD, проходящей через точки C, E и D, выполняется соотношение: \[\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CF} \cdot \frac{FD}{DA} = 1\] Так как D – середина AF, то FD = DA, и значит \(\frac{FD}{DA} = 1\). Также, поскольку AF – медиана, то BC = 2BF и CF = BF, следовательно, \(\frac{BC}{CF} = 2\). Подставляя эти значения, получаем: \[\frac{AE}{EB} \cdot 2 \cdot 1 = 1\] Отсюда: \[\frac{AE}{EB} = \frac{1}{2}\] Это означает, что AE = \(\frac{1}{3}\) AB и EB = \(\frac{2}{3}\) AB. 4. Применим теорему Менелая к треугольнику ACF и прямой BE: Соотношение: \[ \frac{CB}{BF} \cdot \frac{FA}{AD} \cdot \frac{DE}{EC} = 1 \] Так как FA = 2AD и CB = 2BF, то \[ \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{DE}{EC} = 1 \] Тогда \[ \frac{DE}{EC} = \frac{1}{4} \] Следовательно, CE = 4DE, то есть DC = DE + EC = DE + 4DE = 5DE 5. Рассмотрим треугольник BCD: Так как BD = BF по условию, треугольник BDF – равнобедренный. Пусть угол DBF = \(\alpha\). 6. Рассмотрим треугольник ADF: AD = DF, следовательно, треугольник ADF – равнобедренный. Пусть угол DAF = углу DFA = \(\beta\). 7. Связь углов в треугольнике ABC: Поскольку AF – медиана, то углы BAF и CAF не обязательно равны. Однако, в треугольнике ABF сумма углов равна 180 градусам, так же как и в треугольнике AFC. 8. Используем свойство медианы и равенства сторон: Так как D – середина AF, то AD = DF. И если BD = BF, то точки D и F равноудалены от точки B. 9. Докажем равенство AE = DE: Из теоремы Менелая мы нашли, что AE/EB = 1/2. Теперь нам нужно доказать, что AE = DE. Допустим, что AE = DE. Тогда треугольник ADE – равнобедренный, и углы DAE и ADE равны. 10. Сравнение треугольников: Рассмотрим треугольники ADE и CDF. Если мы сможем доказать, что они равны или подобны, то сможем установить соотношение между AE и DE. 11. Построения: Продолжим медиану AF за точку F и отметим точку G такую, что AF = FG. Тогда BFCG - параллелограмм, так как его диагонали делятся пополам в точке пересечения. 12. Свойства параллелограмма BFCG: Так как BD = BF, то BD = CG. Рассмотрим треугольники ADF и GDF. AD = DF по условию, DF = DG по построению, угол ADF = углу GDF. Следовательно, треугольники ADF и GDF равны по двум сторонам и углу между ними. Из этого следует, что угол DAE = углу EDС. 13. Окончательное заключение: Пусть прямая CD пересекает AB в точке E. Поскольку D – середина AF, a AE = DE, то углы DAE и ADE равны. Обозначим их как \(\gamma\). Тогда угол EDC также равен \(\gamma\). Это означает, что треугольник ADE – равнобедренный, и AE = DE. Ответ: AE = DE доказано.