Задача №2 (20 баллов) На доске записаны в ряд 26 чисел. Первое число равно 3, двадцатое равно 7, последнее равно 4. Найдите пятнадцатое число, если сумма любых четырёх подряд идущих чисел равна 19?

Ответ: Пятнадцатое число равно 5.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим периодичность последовательности.

Так как сумма любых четырёх подряд идущих чисел равна 19, то последовательность периодична с периодом 4. Это означает, что каждое пятое число повторяет первое, каждое шестое повторяет второе и так далее.

• Шаг 2: Найдем закономерность.

Пусть числа в последовательности: a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., a26.

Из условия задачи известно:

• a1 = 3
• a20 = 7
• a26 = 4

• Шаг 3: Определим значения чисел, используя периодичность.

Так как a20 = 7, то a20 = a16 = a12 = a8 = a4 = 7 (потому что период равен 4).

• Шаг 4: Найдем сумму первых четырех чисел.

Сумма первых четырех чисел равна 19:\[a1 + a2 + a3 + a4 = 19\]

Известно, что a1 = 3 и a4 = 7, следовательно:\[3 + a2 + a3 + 7 = 19\]\[a2 + a3 = 19 - 3 - 7 = 9\]

• Шаг 5: Найдем сумму последних четырех чисел.

Сумма последних четырех чисел также равна 19:\[a23 + a24 + a25 + a26 = 19\]

Известно, что a26 = 4. Найдем a23, a24, a25.

Так как a26 = 4, то a26 = a22 = a18 = a14 = 4.

Также:\[a23 = a19 = a15\]\[a24 = a20 = a16 = 7\]\[a25 = a21 = a17 = a13\]

Тогда:\[a15 + 7 + a13 + 4 = 19\]\[a15 + a13 = 19 - 7 - 4 = 8\]

• Шаг 6: Составим систему уравнений и решим её.

Известно, что a1 + a2 + a3 + a4 = 19, a1 = 3, a4 = 7, a2 + a3 = 9. Также a2 = a6 = a10 = a14, и a3 = a7 = a11 = a15.

Тогда:\[a14 + a15 = 8\]

Из равенства a2 + a3 = 9 следует, что a14 + a15 = 9.

Значит, что a15 = 5.

Ответ: Пятнадцатое число равно 5.