Задача 3: Дан треугольник ABC, он равнобедренный. AC - основание, AH - высота, AC = 10 см, угол ABC = 120 градусов. Найти AH.

Давай решим эту задачу по шагам! 1. Визуализация и анализ: Представь себе равнобедренный треугольник ABC, где AC - основание. Высота AH опущена из вершины B к основанию AC. Так как треугольник равнобедренный, то высота, проведённая к основанию, также является медианой. Это значит, что точка H делит AC пополам. 2. Найдем угол BAC и угол BCA: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим их как \(\alpha\). Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Тогда: $$ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ $$ $$ \alpha + 120^\circ + \alpha = 180^\circ $$ $$ 2\alpha = 60^\circ $$ $$ \alpha = 30^\circ $$ Таким образом, \(\angle BAC = \angle BCA = 30^\circ\). 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH: Высота AH образует прямоугольный треугольник ABH. В этом треугольнике: * \(\angle BAH = 30^\circ\) * AH - катет, который мы ищем. * AB - гипотенуза (боковая сторона равнобедренного треугольника). * BH = AC / 2 = 10 см / 2 = 5 см. 4. Найдем AH используя тангенс угла BAH: Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. В нашем случае: $$ \tan(\angle BAH) = \frac{BH}{AH} $$ $$ \tan(30^\circ) = \frac{5}{AH} $$ Известно, что \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Тогда: $$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{AH} $$ $$ AH = 5\sqrt{3} $$ Ответ: \(AH = 5\sqrt{3}\) см