Задача 4: Дана окружность с центром в точке O, AN – касательная, CB и CA – хорды. \(\smile{AC} = 100^\circ\), \(\smile{AB} : \smile{BC} = 2 : 3\). Дуги AB и BC меньше полуокружности. Найдите ∠CAN, \(\smile{AB}\), \(\smile{CB}\), ∠AOB, ∠ACB, ∠CBO. Запишите решение.

Привет, ученики! Давайте решим эту задачу вместе. Решение: 1. Найдем градусные меры дуг AB и BC. * Обозначим \(\smile{AB} = 2x\) и \(\smile{BC} = 3x\). * Сумма дуг всей окружности равна 360°. Так как \(\smile{AC} = 100^\circ\), то \(\smile{AB} + \smile{BC} = 360^\circ - 100^\circ = 260^\circ\). * Составим уравнение: \(2x + 3x = 260^\circ\). * Решим уравнение: \(5x = 260^\circ\), следовательно, \(x = 52^\circ\). * Тогда \(\smile{AB} = 2 \cdot 52^\circ = 104^\circ\) и \(\smile{BC} = 3 \cdot 52^\circ = 156^\circ\). 2. Найдем углы. * ∠CAN — угол между касательной и хордой, равен половине дуги, заключенной между ними. Значит, \(∠CAN = \frac{1}{2} \smile{AC} = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ\). * ∠AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Значит, \(∠AOB = \smile{AB} = 104^\circ\). * ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, \(∠ACB = \frac{1}{2} \smile{AB} = \frac{1}{2} \cdot 104^\circ = 52^\circ\). * Для нахождения ∠CBO рассмотрим треугольник CBO. OC и OB — радиусы окружности, следовательно, треугольник CBO равнобедренный. ∠COB — центральный угол, опирающийся на дугу BC. Значит, \(∠COB = \smile{BC} = 156^\circ\). Тогда углы при основании CB равны: \(∠CBO = ∠BCO = \frac{180^\circ - 156^\circ}{2} = \frac{24^\circ}{2} = 12^\circ\). Ответы: * \(∠CAN = 50^\circ\) * \(\smile{AB} = 104^\circ\) * \(\smile{BC} = 156^\circ\) * \(∠AOB = 104^\circ\) * \(∠ACB = 52^\circ\) * \(∠CBO = 12^\circ\)