Задача 12. Дана треугольная пирамида SABC с вершиной S, в основании которой лежит правильный треугольник ABC. Отрезки AM, BN и CP являются медианами, точка O - точка пересечения медиан. Отрезок SO перпендикулярен плоскости основания. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых. 1) прямые SA и BC 2) прямые SM и NP 3) прямые SN и NP 4) прямые SA и CP 5) прямые SB и NP

Так как SO перпендикулярна плоскости основания, то SO перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Медианы AM, BN и CP пересекаются в точке O, которая является центром правильного треугольника ABC. Рассмотрим предложенные варианты: 1) SA и BC: Так как пирамида не является правильной (не сказано, что боковые ребра равны), то SA не обязательно перпендикулярна BC. Этот вариант не подходит. 2) SM и NP: Нет информации, чтобы доказать перпендикулярность SM и NP. 3) SN и NP: Аналогично, нет информации для перпендикулярности. 4) SA и CP: Так как SO перпендикулярна плоскости основания, а CP лежит в этой плоскости, и CP не перпендикулярна AO, то SA не перпендикулярна CP. 5) SB и NP: Так как пирамида правильная и треугольник в основании равносторонний, а NP параллельна AC, значит, BN перпендикулярна AC, а следовательно, BN перпендикулярна NP. Поскольку SO перпендикулярна плоскости ABC, то SO перпендикулярна NP. Итак, NP перпендикулярна SO и BN, значит, NP перпендикулярна плоскости SBN, а значит, NP перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, NP перпендикулярна SB. Ответ: 5