Решение задачи 1

Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим квадрат ABCD, AC = BD = 4 см. Тогда AO = OC = BO = OD = AC/2 = 4/2 = 2 см.

Рассмотрим квадрат OBKC, в котором сторона BC является диагональю. Обозначим сторону квадрата OBKC за x. Тогда, по теореме Пифагора, для треугольника OBC:

$$OB^2 + OC^2 = BC^2$$ $$x^2 + x^2 = BC^2$$ $$2x^2 = BC^2$$ $$BC = x\sqrt{2}$$

Так как BC является диагональю квадрата ABCD, то BC = 4 см. Отсюда:

$$x\sqrt{2} = 4$$ $$x = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Итак, сторона квадрата OBKC равна $$2\sqrt{2}$$ см.

Теперь рассмотрим треугольник BOK. Он прямоугольный и равнобедренный (так как OBKC - квадрат). Тогда ВК можно найти как гипотенузу этого треугольника:

$$BK = \sqrt{OB^2 + OK^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$$

Ответ: ВК = 4 см.